क्या है, मोंटी हॉल की पहेली का निष्कर्ष?

मान लीजिए कि आप एक गेम शो (Game Show) में हैं, और आपको तीन दरवाज़ों का विकल्प दिया गया है: एक दरवाज़े के पीछे एक गाड़ी है; बाकी अन्य दो के पीछे, बकरियाँ। वहीं आपको इन तीनों दरवाज़ों में से किसी एक को चुनने का विकल्प दिया जाता है, विकल्प के अनुसार आप एक दरवाज़े (नंबर 1) को चुन लेते हैं। फिर इसके बाद आयोजन कर्ता (जिसे पहले से ही मालूम है कि किस दरवाज़े के पीछे क्या है) दरवाज़ा नंबर 3 को खोल देता है, जिसमें बकरी निकलती है। उसके बाद आपको एक और विकल्प दिया जाता है कि क्या आप अपने चुने हुए दरवाज़े को दरवाज़ा नंबर 2 से बदलना चाहेंगे। इस अवस्था में आप क्या करेंगे, सोचिए, क्या दरवाज़ा बदलने से आपको कुछ लाभ होगा?

इन सवालों का जवाब हम आपको अमेरिकी टेलीविज़न (Television) गेम शो “लेट्स मेक अ डील” (Let’s Make A Deal) पर आधारित मोंटी हॉल की पहेली की मदद से बताएंगे। यह पहेली 1975 में अमेरिकी सांख्यिकीविद् स्टीव सेल्विन के एक पत्र में प्रकाशित हुई थी। जिस पर वोस सवांट की प्रतिक्रिया थी कि प्रतियोगी को दूसरे दरवाज़े का चयन करना चाहिए क्योंकि मानक मान्यताओं के तहत, दरवाज़े को बदलने वाले प्रतियोगियों के पास गाड़ी जीतने का 2/3 अवसर होता है, जबकि जो प्रतियोगी अपने शुरुआती चयन पर अडिग रहते हैं उनके पास गाड़ी जीतने का केवल 1/3 अवसर होता है।

इसको थोड़ा और गहनता से समझने की कोशिश करेंगे कि क्यों बदलना महत्वपूर्ण होता है और दरवाज़े को हटाने से अपने चयन को बदलना क्यों आकर्षक हो जाता है। नियमित खेल के बजाय, इस प्रकार की कल्पना करते हैं:
• मान लीजिए 100 दरवाज़े हैं
• और आपको इसमें से एक को चुनना है
• मोंटी 1 को छोड़कर, 98 दरवाजों को खोल देता है जिनमें बकरियाँ होती हैं

अब क्या आप चुने हुए दरवाज़े (1/100) को ही रखेंगे या 98 से छाने गए उस एक दरवाज़े का चयन करेंगे। आप यह सोच रहे होंगे कि ये तो 50-50 के अवसर की तरह है, लेकिन वास्तव में यह हमारी सबसे बड़ी भूल होती है, क्योंकि ऐसे में यदि दूसरे दरवाज़े का चयन किया जाए तो जीतने की संभावना ओर अधिक बढ़ जाती है। यह सवाल वैधानिक प्रकार का विरोधाभास है, क्योंकि सही विकल्प (जो कि दरवाज़े को बदलना चाहिए) इतना प्रति-अंत: प्रज्ञात्मक है कि यह बड़ा अटपटा लगता है, लेकिन फिर भी यह प्रमाणपूर्वक है। मोंटी हॉल समस्या गणितीय रूप से पहले के “तीन कैदियों के सवाल” और बहुत पुराने “बर्ट्रेंड के बॉक्स विरोधाभास” (Bertrand’s Box Paradox) से संबंधित है। निम्न दी गई तालिका के माध्यम से आप इस सवाल को थोड़ा और विस्तार से समझ सकते हैं:
मोंटी हॉल शो की तरह भारत में वर्ष 2001 में ‘खुलजा सिम सिम’ गेम शो को स्टार प्लस पर प्रसारित किया गया, जिसका प्रीमियर 27 जुलाई 2001 को हुआ था। जब यह शो प्रकाशित होना बंद हुआ, तब तक शो में 1,500 से अधिक प्रतिभागी भाग ले चुके थे और 2 करोड़ तक के पुरस्कार वितरित किए गए थे। खुलजा सिम सिम का 2003 की लिम्का बुक ऑफ रिकॉर्ड्स (Limca Book of Records) में भी उल्लेख किया गया।