गेब्रियल हॉर्न (Gabriel’s Horn) और इसको रंगने का मिथ्याभास

मेरठ भारत के सबसे बड़े पीतल उपकरणों के उद्योग में से एक है और भारत में ट्रम्पेट (Trumpet) का सबसे बड़ा उत्पादक है, लेकिन एक ट्रम्पेट ऐसा है जिसे पीतल का उपयोग करके बनाया तो जा सकता है लेकिन पूरे विश्व के रंगों का उपयोग करके भी इसको पूरा रंगा नहीं जा सकता है। तो चलिए आज जानते हैं गेब्रियल हॉर्न (Gabriel’s Horn) और इसको रंगने के मिथ्याभास के बारे में।

गेब्रियल हॉर्न (जिसे टोर्रिसेली का ट्रम्पेट भी कहा जाता है) एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें अनंत सतह क्षेत्र होता है लेकिन परिमित मात्रा होती है। यह नाम इब्राहिम परंपरा को संदर्भित करता है जो गेब्रियल की पहचान उस फरिश्ते के रूप में करवाता है जो निर्णय के दिन की घोषणा करने के लिए ट्रम्पेट को बजाया करता था। इस आंकड़े के गुणों का पहली बार 17वीं शताब्दी में इतालवी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ इवेंजेलिस्टा टोर्रिसेली द्वारा अध्ययन किया गया था।

गेब्रियल हॉर्न का निर्माण x = 1/x ग्राफ (Graph), के साथ डोमेन (Domain) x ≥ 1 लेकर और इसे x-एक्सिस (Axis) के तीन आयामों में घुमा कर किया जाता है। कैलकुलस (Calculus) के आविष्कार से पहले कैवेलियरी के सिद्धांत का उपयोग करके इसकी खोज की गई थी, लेकिन आज कैलकुलस का उपयोग x = 1 और x = a, (जहां a > 1) के बीच हॉर्न की मात्रा और सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

जब गेब्रियल के हॉर्न के गुणों की खोज की गई, तो यह तथ्य सामने आया कि xy-plane में मौजूद एक बड़े हिस्से को x-एक्सिस पर घुमाने से एक परिमित मात्रा का प्रयोजन उत्पन्न होता है जिसे मिथ्याभासी माना जाता है। जबकि xy-plane के खंड में एक अनंत क्षेत्र होता है, वहीं इसके समानांतर किसी अन्य खंड में एक परिमित क्षेत्र पाया जाता है। तथा गणित का ही एक सिद्धांत लगाकर इसके आयतन को एक निश्चित मात्रा के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि हॉर्न में परिमित आयतन है, लेकिन इसमें अनंत सतह क्षेत्र भी मौजूद है, इसलिए एक स्पष्ट मिथ्याभास है कि हॉर्न को रंग की परिमित मात्रा से भरा जा सकता है, लेकिन फिर भी यह रंग हॉर्न की आंतरिक सतह को आवरण करने के लिए पर्याप्त नहीं होगा। इस मिथ्याभास को कुछ इस तरह हल किया जा सकता है कि रंग की एक परिमित मात्रा वास्तव में एक अनंत सतह क्षेत्र को आवरण कर सकती है, बस इसे एक पर्याप्त दर पर पतला होना चाहिए। उस स्थिति में जहां हॉर्न को रंग से भर दिया जाता है, इस पतलेपन को हॉर्न के कंठ के व्यास में बढ़ती कमी से पूरा किया जा सकता है।

गैलीलियो के एक छात्र इवेंजेलिस्टा टोर्रिसेली को वायुमान यंत्र के आविष्कारक के रूप में जाना जाता है। वह एक प्रतिभाशाली गणितज्ञ भी थे और उन्होंने एक साधारण ज्यामितीय सतह के उल्लेखनीय गुणों की खोज की, जिसे अब टोर्रिसेली का ट्रम्पेट कहा जाता है। यह सतह उत्पन्न होती है जब {x≥1} के लिए वक्र {y=1/x} को x-axis पर घुमाया जाता है।

सतह के भीतर निहित मात्रा, एक प्राथमिक अभिन्न अंग से प्राप्त होती है: